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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
Parcial A
Ejercicio 1:

Sea g:R4→R4,g(x)=(x1+x2−2x3,x1+x2−2x3,x1−x3,x1−x3)g: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, g(\textbf{x}) = (x_1 + x_2 - 2x_3 , x_1 + x_2 - 2x_3, x_1 - x_3, x_1 - x_3). 


Definir, si es posible, una transformación lineal f:R4→R4f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 tal que:

Nu f⊂Nu g\text{Nu }f \subset \text{Nu }g, Nu f∩Im g≠{0}\text{Nu }f \cap \text{Im }g \neq \{0\} y  Im f=Nu g+Im g\text{Im }f = \text{Nu }g + \text{Im }g

Ejercicio 2:

Sean B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \} y B′={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}B' = \{ (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) \} bases de R3\mathbb{R}^3 y f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 la transformación lineal tal que:


MBB′(f)=(0−1k0k111−1)M_{BB'}(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & k \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right)

Determinar el valor de k∈Rk \in \mathbb{R} para el cual f(2,1,1)∈S={x∈R3/x1+x2+x3=0}f(2,1,1) \in S = \{ x \in \mathbb{R}^3 / x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}

Ejercicio 3:

Hallar P∈R[x]P \in \mathbb{R}[x] de grado mínimo entre todos los polinomios que verifican simultáneamente: 


∘\circ Todas las soluciones en C\mathbb{C} de z3=−8iz^3 = -8i con Re(z)≥0Re(z) \geq 0 son raíces de PP. 

∘\circ PP tiene alguna raíz doble

∘\circ P(2)=0P(2) = 0 y P(0)=80P(0) = 80

Ejercicio 4:

Sea f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 la transformación lineal definida por

f(x)=(−5x1−x2+x3,8x1+x2−4x3,−2x1−x2−2x3)f(\textbf{x}) = (-5x_1 -x_2 + x_3 , 8x_1 + x_2 - 4x_3 , -2x_1 - x_2 - 2x_3)

Hallar, si existe, una base BB de R3\mathbb{R}^3 tal que MB(f)M_B(f) sea diagonal. 


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